數學博士

科目簡介

必修科目

文獻綜述與選題報告（3 學分）

本課程旨在指導學生瞭解數學領域的研究現狀，通過文獻綜述的方式說明學生更好的瞭解本領域中待解決的問題以及可能的解決方案，以指導學生更好的選擇研究方向，完成博士研究課題的選題設定。

前沿數學專論（3 學分）

本課程是由數學相關研究領域的老師講述各自研究方向的內容和方法。讓學生在學習本方向的知識之外，瞭解更多其他研究領域的前沿內容，擴展數學相關方向的知識。

高級專業閱讀（3 學分）

本課程是指導老師引導學生閱讀和學習研究領域的書籍或論文，向學生講述研究內容和研究方法。通過學習，學生掌握研究所需基礎知識，前沿理論以及研究方法，開展數學相關研究。

選修科目

歐氏空間的調和分析（3 學分）

本課程主要介紹現代調和分析的的基本思想、基本理論和基本方法，同時注意介紹相關前沿問題和最新研究進展。課程的具體內容主要包括Fourier變換的經典理論、廣義函數的Fourier變換理論、R^n空間的調和函數的一般理論以及奇異積分運算元的有界性等。同時，我們將介紹Fourier變換理論以及調和分析在信號分析、影像處理中的應用以及最新研究結果。

超複分析（3 學分）

本課程將介紹複分析理論在高維的推廣，其中包括四元數分析，柯利弗德分析以及多複變數分析。本課程將介紹解析函數理論在不同設定下的基本性質以及相關結果，如不同設定下Hardy空間，Bergman空間的相關理論結果。同時，我們將介紹超複分析理論在信號分析和影像處理中的相關應用以及最新研究結果。 

矩陣理論（3 學分）

較系統地介紹了矩陣理論的主要概念和方法, 內容包括線性空間, 內積空間, 線性變換, 矩陣分解, 向量和矩陣的範數, 矩陣函數與函數矩陣。

動力系統（3 學分）

分形理論是一門新興的非線性學科，它是研究自然界不規則和複雜現象的科學理論和方法。由淺入深地介紹了分形幾何的基本概念、分形維數的計算、分形圖形的生成、分形生長模型與模擬、分形插值與模擬、隨機分形以及與分形密不可分的混沌理論的基本知識。在此基礎上，通過總結自然界中的分形行為，用實例概述了分形圖形、分形維數、分形模擬技術、分形圖像編碼壓縮技術等在自然科學、工程技術、社會經濟和文化藝術等領域中的應用成果。

解析數論（3 學分）

科目主要介紹解析數論的研究方法和前沿理論。將詳細講述解析數論的各個方向，包括圓法、篩法、丟番圖方程、自守形式等等。講述中將重點介紹經典的黎曼函數零點問題、哥德巴赫猜想問題、孿生素數猜想問題。除此之外，課程還將介紹解析數論在密碼學中的應用。

圖論（3 學分）

圖論以頂點和頂點間的連邊構成的圖為研究物件，圖是對具體事物（表示為頂點）之間的關係（表示為連邊）的抽象表示，能夠反映大量事物之間具有結構的關聯。隨著電腦科學的高速發展，與之聯繫緊密的圖論進一步展現出了其廣闊的應用前景，除了在資料結構，通訊網路，電路設計等經典問題中的重要作用，在高速發展的大資料，人工智慧等熱點問題中，圖論也佔據了越來越重要的位置，以複雜網路分析，圖神經網路，知識圖譜等為代表的新興技術都以圖論作為其理論的基礎，許多圖論中的經典方法和經典理論都在這些方向的應用中表現出巨大的價值。因此，圖論知識的學習對培養能夠在新的技術浪潮下進行創新的電腦科學和資訊技術等方向的人才有重要的價值。本專題將主要圍繞以下內容以及相關應用展開：

1. 圖論的基本概念及定理；2. 連通度問題；3. 染色問題；4. 匹配問題；5. 歐拉問題與漢米爾頓問題；6. 圖論基本演算法。

組合優化（3 學分）

對離散的研究物件的探討是數學中重要的分支，在電腦科學，控制論，資訊理論，人工智慧，超大規模電路設計，經濟學，分子物理學，生物學，工程技術等領域，存在大量的在離散的背景下以及複雜約束條件下尋找最優解的問題，而組合優化就是運用離散的優化方法和演算法，對此類問題給出最優或者近似最優解的學科。本專題將以人工智慧，機器學習，大資料和複雜網路等領域中存在的熱門問題為引導，系統化的培養學生在組合優化的觀點和技術下，解決複雜問題的能力。本專題主要的內容為：

最優樹和最優路，2. 最大流問題，3. 最小費用流問題，4. 最優匹配問題，5. 旅行售貨商問題，6. 擬陣

高等統計學（3 學分）

本課程主要介紹統計學的基礎知識和相關的數學工具，其中包括數理統計學基礎，線性模型，非參數統計，多變數統計分析，時間序列分析，高級推斷方法，機器學習和統計學在其他領域的應用等。

高等數值分析（3 學分）

該課程圍繞各種數值方法展開學習，涵蓋解線性方程組的直接法、解線性方程組的迭代演算法、非線性方程求根、插值與逼近、數值積分與數值微分和常微分方程數值解法等內容。數值分析的理論教學以課堂教學為主，著重講述數值分析的基本原理和思想，注重誤差分析、收斂性及穩定性的基本理論。數值實驗是數值分析課程教學的一個重要環節，是理論與實踐相結合的主要途徑。通過上機實踐，不僅加深了學生對數值分析課程內容的掌握，同時也提高了學生分析問題和解決問題的能力，培養了學生的創新能力。